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《新唐书》卷二十八上·志第十八上

作者:宋·欧阳修、宋祁

◎历四上

《开元大衍历》演纪上元阏逢困敦之岁,距开元十二年甲子,积九千六百九十六万一千七百四十算。○一曰步中朔术通法三千四十。

策实百一十一万三百四十三。揲法八万九千七百七十三。灭法九万一千二百。策馀万五千九百四十三。

用差万七千一百二十四。挂限八万七千一十八。三元之策十五,余六百六十四,秒七。四象之策二十九,馀千六百一十三。

中盈分千三百二十八,秒十四。朔虚分千四百二十七。爻数六十。象统二十四。

以策实乘积算,曰中积分。盈通法得一,为积日。爻数去之,余起甲子算外,得天正中气。凡分为小馀,日为大馀。加三元之策,得次气。〔凡率相因加者,下有馀秒,皆以类相从。而满法迭进,用加上位。日盈爻数去之。〕

以揲法去中积分,不尽曰归余之挂。以减中积分,为朔积分。如通法为日,去命如前,得天正经朔。加一象之日七、馀千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。参之,得下弦。四之,是谓一揲,得后月朔。〔凡四分,一为少,三为太。〕综中盈、朔虚分,累益归余之挂,每其月闰衰。〔凡归余之挂五万六千七百六十以上,其岁有闰。因考其闰衰,满挂限以上,其月合置闰。或以进退,皆以定朔无中气裁焉。〕

凡常气小馀不满通法、如中盈分之半已下者,以象统乘之,内秒分,参而伍之,以减策实。不尽,如策余为日。命常气初日算外,得没日。凡经朔小馀不满朔虚分者,以小馀减通法,余倍参伍乘之,用减灭法。不尽,如朔虚分为日。命经朔初日算外,得灭日。

○二曰发敛术天中之策五,余二百二十一,秒三十一。秒法七十二。地中之策六,余二百六十五,秒八十六。秒法百二十。贞悔之策三,余百三十二,秒百三。

辰法七百六十。刻法三百四。

各因中节命之,得初候。加天中之策,得次候。又加,得末候。因中气命之,得公卦用事。以地中之策累加之,得次卦,若以贞悔之策加侯卦,得十有二节之初外卦用事。因四立命之,得春木、夏火、秋金、冬水用事。以贞悔之策减季月中气,得土王用事。〔凡相加减而秒母不齐,当令母互乘子,乃加减之。母相乘为法。〕

各以通法约其月闰衰,为日,得中气去经朔日算。求卦、候者,各以天、地之策,累加减之。凡发敛加时,各置其小馀,以六爻乘之,如辰法而一,为半辰之数。不尽者,三约为分。〔分满刻法为刻。若令满象积为刻者,即置不尽之数,十之,十九而一,为分。〕命辰起子半算外。

○三曰步日躔术干实百一十一万三百七十九太。周天度三百六十五,虚分七百七十九太。岁差三十六太。

以盈缩分盈减、缩加三元之策,为定气所有日及余。乃十二乘日,又三其小余,辰法约而一,从之,为定气辰数。不尽,十之,又约为分。以所入气并后气盈缩分,倍六爻乘之,综两气辰数除之,为末率。又列二气盈缩分,皆倍六爻乘之,各如辰数而一。以少减多,余为气差。至后以差加末率,分后以差减末率,为初率。倍气差,亦倍六爻乘之,复综两气辰数除,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以日差至后以减、分后以加气初定率,为每日盈缩分。乃驯积之,随所入气日加、减气下先、后数,各其日定数。其求朓朒仿此。〔冬至后为阳复,在盈加之,在缩减之。夏至后为阴复,在缩加之,在盈减之。距四正前一气,在阴阳变革之际,不可相并,皆因前末为初率。以气差至前加之,分前减之,为末率。馀依前术,各得所求。其分不满全数,母又每气不同,当退法除之。以百为母,半已上,收成一。〕冬至、夏至偕得天地之中,无有盈、缩。余各以气下先后数先减、后加常气小馀,满若不足,进退其日,得定大小馀。〔凡推日月度及轨漏、交蚀,依定气。注历,依常气。〕以减经朔、弦、望,各其所入日算。若大馀不足减,加爻数,乃减之。减所入定气日算一,各以日差乘而半之。前少以加、前多以减气初定率,以乘其所入定气日算及余秒。〔凡除者,先以母通全,内子,乃相乘。母相乘除之。〕所得以损益朓朒积,各其入朓朒定数。〔若非朔、望有交者,以十二乘所入日算。三其小馀,辰法除而从之。以乘损益率,如定气辰数而一。所得以损益朓朒积,各为定数。〕

南斗二十六,牛八,婺女十二,虚十,〔虚分七百七十九太。〕危十七,营室十六,东壁九,奎十六,娄十二,胃十四,昴十一,毕十七,觜觿一,参十,东井三十三,舆鬼三,柳十五,七星七,张十八,翼十八,轸十七,角十二,亢九,氐十五,房五,心五,尾十八,箕十一,为赤道度。其毕、觜觿、参、舆鬼四宿度数,与古不同,依天以仪测定,用为常数。纮带天中,仪极攸凭,以格黄道。

推冬至岁差所在,每距冬至前后各五度为限,初数十二,每限减一,尽九限,数终于四。当二立之际,一度少强,依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限增一,尽九限,终于十二,而黄道交复。计春分后、秋分前,亦五度为限。初数十二,尽九限,数终于四。当二立之际,一度少强,依平。乃距夏至前后,初限起四,尽九限,终于十二。皆累裁之,以数乘限度,百二十而一,得度。不满者,十二除,为分。〔若以十除,则大分,十二为母,命太、半、少及强、弱。〕命曰黄、赤道差数。二至前、后各九限,以差减赤道度,二分前、后各九限,以差加赤道度,各为黄道度。

开元十二年,南斗二十三半,牛七半,婺女十一少,虚十,〔六虚之差十九太。〕危十七太,营室十七少,东壁九太,奎十七半,娄十二太,胃十四太,昴十一,毕十六少,觜觿一,参九少,东井三十,舆鬼二太,柳十四少,七星六太,张十八太,翼十九少,轸十八太,角十三,亢九半,氐十五太,房五,心四太,尾十七,箕十少,为黄道度,以步日行。日与五星出入,循此。〔求此宿度,皆有馀分,前后辈之成少、半、太,准为全度。若上考往古,下验将来,当据岁差,每移一度,各依术算,使得当时度分,然后可以步三辰矣。〕

以乾实去中积分,不尽者,盈通法为度。命起赤道虚九,宿次去之,经虚去分,至不满宿算外,得冬至加时日度。〔以三元之策累加之,得次气加时日度。〕

以度余减通法,余以冬至日躔距度所入限数乘之,为距前分。置距度下黄、赤道差,以通法乘之,减去距前分,余满百二十除,为定差。不满者,以象统乘之,复除,为秒分。乃以定差减赤道宿度,得冬至加时黄道日度。

又置岁差,以限数乘之,满百二十除,为秒分。不尽为小分。以加三元之策,因累裁之。命以黄道宿次,各得定气加时日度。

置其气定小馀,副之。以乘其日盈、缩分,满通法而一,盈加、缩减其副。用减其日加时度余,得其夜半日度。因累加一策,以其日盈、缩分盈加、缩减度余,得每日夜半日度。

○四曰步月离术转终六百七十万一千二百七十九。转终日二十七,馀千六百八十五,秒七十九。转法七十六。

转秒法八十。

以秒法乘朔积分,盈转终去之。余复以秒法约,为入转分。满通法,为日。命日算外,得天正经朔加时所入。因加转差日一、余二千九百六十七、秒一,得次朔。以一象之策,循变相加,得弦、望。盈转终日及余秒者,去之。各以经朔、弦、望小馀减之,得其日夜半所入。

各置朔、弦、望所入转日损益率,并后率而半之,为通率。又二率相减,为率差。前多者,以入余减通法,余乘率差,盈通法得一,并率差而半之。前少者,半入余,乘率差,亦以通法除之:为加时转率。乃半之,以损益加时所入,余为转余。其转余,应益者,减法。应损者,因余。皆以乘率差,盈通法得一,加于通率,转率乘之,通法约之,以朓减、朒加转率,为定率。乃以定率损益朓朒积,为定数。〔其后无同率者,亦因前率。应益者,以通率为初数,半率差而减之。应损者,即为通率。其损益入余进退日,分为二日,随余初末,如法求之,所得并以损益转率。此术本出《皇极历》,以究算术之微变。若非朔、望有交者,直以入余乘损益率,如通法而一,以损益朓朒,为定数。〕

七日、〔初数二千七百一,末数三百三十九。〕十四日、〔初数二千三百六十三,末数六百七十七。〕二十一日、〔初数二千二十四,末数千一十六。〕二十八日,〔初数千六百八十六,末数千三百五十四。〕以四象约转终,均得六日二千七百一分。就全数约为九分日之八。各以减法,余为末数。乃四象驯变相加,各其所当之日初、末数也。视入转余,如初数已下者,加减损益,因循前率。如初数以上,则反其衰,归于后率云。

各置朔、弦、望大小馀,以入气、入转朓朒定数,朓减、朒加之,为定朔、弦、望大小馀。定朔日名与后朔同者,月大。不同者,小。无中气者,为闰月。〔凡言夜半,皆起晨前子正之中。若注历,观弦、望定小馀,不盈晨初馀数者,退一日。其望有交、起亏在晨初已前者,亦如之。又月行九道迟疾,则有三大二小以日行盈、缩累增、损之,则容有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所近而进退之,使不过三大二小。其正月朔有交、加时正见者,消息前后一两月,以定大小,令亏在晦、二。〕定朔、弦、望夜半日度,各随所直日度及余分命之。乃列定朔、弦、望小馀,副之。以乘其日盈、缩分,如通法而一,盈加、缩减其副。以加夜半日度,各得加时日度。

凡合朔所交,冬在阴历、夏在阳历,月行青道。〔冬至、夏至后,青道半交在春分之宿,当黄道东。立冬、立夏后,青道半交在立春之宿,当黄道东南。至所冲之宿,亦如之。〕冬在阳历、夏在阴历,月行白道。〔冬至、夏至后,白道半交在秋分之宿,当黄道西。立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,当黄道西北。至所冲之宿,亦如之。〕春在阳历、秋在阴历,月行朱道。〔春分、秋分后,朱道半交在夏至之宿,当黄道南。立春、立秋后,朱道半交在立夏之宿,当黄道西南。至所冲之宿,亦如之。〕春在阴历,秋在阳历,月行黑道。〔春分、秋分后,黑道半交在冬至之宿,当黄道北,立春、立秋后,黑道半交在立冬之宿,当黄道东北。至所冲之宿,亦如之。〕四序离为八节,至阴阳之所交,皆与黄道相会,故月有九行。各视月交所入七十二候距交初中黄道日度,每五度为限,亦初数十二,每限减一,数终于四、乃一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十二,而至半交,其去黄道六度。又自十二,每限减一,数终于四,亦一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十二,复与日轨相会。各累计其数,以乘限度,二百四十而一,得度。不满者,二十四除,为分,〔若以二十除之,则大分,以十二为母。〕为月行与黄道差数。距半交前后各九限,以差数为减。距正交前后各九限,以差数为加。〔此加减出入六度,单与黄道相较之数。若较之赤道,则随气迁变不常。〕计去冬至、夏至以来候数,乘黄道所差,十八而一,为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴,外为阳。月以黄道内为阴,外为阳。故月行宿度,入春分交后行阴历、秋分交后行阳历,皆为同名。若入春分交后行阳历、秋分交后行阴历,皆为异名。其在同名,以差数为加者加之,减者减之。若在异名,以差数为加者减之,减者加之。皆以增损黄道度,为九道定度。

各以中气去经朔日算,加其入交泛,乃以减交终,得平交入中气日算。满三元之策去之,余得入后节日算。〔因求次交者,以交终加之,满三元之策去之,得后平交入气日算。〕

各以气初先后数先加、后减之,得平交入定气日算。倍六爻乘之,三其小馀,辰法除而从之,以乘其气损益率,如定气辰数而一,所得以损益其气朓朒积,为定数。

又置平交所入定气余,加其日夜半入转余,以乘其日损益率,满通法而一,以损益其日朓朒积,交率乘之,交数而一,为定数。乃以入气入转朓朒定数,朓减、朒加平交入气余,满若不足,进退日算,为正交入定气日算。其入定气余,副之,乘其日盈缩分,满通法而一,以盈加、缩减其副,以加其日夜半日度,得正交加时黄道日度。以正交加时度余减通法,余以正交之宿距度所入限数乘之,为距前分。置距度下月道与黄道差,以通法乘之,减去距前分,余满二百四十除,为定差。不满者一退为秒。以定差及秒加黄道度、余,仍计去冬至、夏至已来候数乘定差,十八而一,所得依名同异而加减之,满若不足,进退其度,得正交加时月离九道宿度。

各置定朔、弦、望加时日度,从九道循次相加。凡合朔加时,月行潜在日下,与太阳同度,是谓离象。〔先置朔、弦、望加时黄道日度,以正交加时所在黄道宿度减之,余以加其正交九道宿度,命起正交宿度算外,即朔、弦、望加时所当九道宿度也。其合朔加时,若非正交,则日在黄道,月在九道,各入宿度虽多少不同,考其去极,若应绳准。故云:月行潜在日下,与太阳同度。〕以一象之度九十一、余九百五十四、秒二十二半为上弦,兑象。倍之,而与日冲,得望,坎象。参之,得下弦,震象。各以加其所当九道宿度,秒盈象统从余,余满通法从度,得其日加时月度。〔综五位成数四十,以约度余,为分。不尽者,因为小分。〕

视经朔夜半入转,若定朔大馀有进退者,亦加、减转日。否则因经朔为定。累加一日,得次日,各以夜半入转余乘列衰,如通法而一,所得以进加、退减其日转分,为月转定分。满转法,为度。

视定朔、弦、望夜半入转,各半列衰以减转分。退者,定余乘衰,以通法除,并衰而半之。进者,半余乘衰,亦以通法除:皆加所减。乃以定余乘之,盈通法得一,以减加时月度,为夜半月度。各以每日转定分累加之,得次日。若以入转定分,乘其日夜漏,倍百刻除,为晨分。以减转定分,余为昏分。望前以昏、望后以晨加夜半度,各得晨、昏月。

各视每日夜半入阴阳历交日数,以其下屈伸积,月道与黄道同名者,加之。异名者,减之。各以加、减每日晨昏黄道月度,为入宿定度及分。○五曰步轨漏术

爻统千五百二十。象积四百八十。辰八刻百六十分。昏、明二刻二百四十分。

各置其气消息衰,依定气所有日,每以陟降率陟减、降加其分,满百从衰,各得每日消息定衰。其距二分前后各一气之外,陟、降不等,皆以三日为限。雨水初日,降七十八。初限,日损十二。次限,日损八。次限,日损三。次限,日损二。次限,日损一。清明初日,陟一。初限,日益一。次限,日益二。次限,日益三。次限,日益八。末限,日益十九。处暑初日,降九十九。初限,日损十九。次限,日损八。次限,日损三。次限,日损二。末限,日损一。寒露初日,陟一。初限,日益一。次限,日益二。次限,日益三。次限,日益八。末限,日益十二。各置初日陟降率,依限次损益之,为每日率。乃递以陟减、降加气初消息衰,各得每日定衰。

南方戴日之下,正中无晷。自戴日之北一度,乃初数千三百七十九。自此起差,每度增一,终于二十五度,计增二十六分。又每度增二,终于四十度。又每度增六,终于四十四度,增六十八。又每度增二,终于五十度。又每度增七,终于五十五度。又每度增十九,终于六十度,增百六十。又每度增三十三,终于六十五度。又每度增三十六,终于七十度。又每度增三十九,终于七十二度,增二百六十。又度增四百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。又度增五千三百四十。各为每度差。因累其差,以递加初数,满百为分,分十为寸,各为每度晷差。又累其晷差,得戴日之北每度晷数。

各置其气去极度,以极去戴日度五十六及分八十二半减之,得戴日之北度数。各以其消息定衰所直度之晷差,满百为分,分十为寸,得每日晷差。乃递以息减、消加其气初晷数,得每日中晷常数。

以其日处在气定小馀,爻统减之,余为中后分。不足减,反相减,为中前分。以其晷差乘之,如通法而一,为变差。以加、减中晷常数,〔冬至后,中前以差减,中后以差加。夏至后,中前以差加,中后以差减。冬至一日,有减无加。夏至一日,有加无减。〕得每日中晷定数。

又置消息定衰,满象积为刻,不满为分。各递以息减、消加其气初夜半漏,得每日夜半漏定数。其全刻,以九千一百二十乘之,十九乘刻分从之,如三百而一,为晨初馀数。

各倍夜半漏,为夜刻。以减百刻,余为昼刻。减昼五刻以加夜,即昼为见刻,夜为没刻。半没刻加半辰,起子初算外,得日出辰刻。以见刻加而命之,得日入。〔置夜刻,五而一,得每更差刻。又五除之,得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻,得甲夜初刻。又以更筹差加之,得五夜更筹所当辰。其夜半定漏,亦名晨初夜刻。〕

又置消息定衰,满百为度,不满为分。各递以息减、消加气初去极度,各得每日去极定数。

又置消息定衰,以万二千三百八十六乘之,如万六千二百七十七而一,为度差。差满百为度。各递以息加、消减其气初距中度,得每日距中度定数。倍之,以减周天,为距子度。

置其日赤道日度,加距中度,得昏中星。倍距子度,以加昏中星,得晓中星。命昏中星为甲夜中星,加每更差度,得五夜中星。

凡九服所在,每气初日中晷常数不齐。使每气去极度数相减,各为其气消息定数。因测其地二至日晷,〔测一至可矣,不必兼要冬夏。〕于其戴日之北每度晷数中,较取长短同者,以为其地戴日北度数及分。每气各以消息定数加减之,〔因冬至后者,每气以减。因夏至后者,每气以加。〕得每气戴日北度数。各因所直度分之晷数,为其地每定气初日中晷常数。〔其测晷有在表南者,亦据其晷尺寸长短与戴日北每度晷数同者,因取其所直之度,去戴日北度数。反之,为去戴日南度。然后以消息定数加减之。〕

二至各于其地下水漏以定当处昼夜刻数。乃相减,为冬、夏至差刻。半之,以加、减二至昼夜刻数,为定春、秋分初日昼夜刻数。乃置每气消息定数。以当处差刻数乘之,如二至去极差度四十七分,八十而一,所得依分前、后加、减初日昼夜漏刻,各得余定气初日昼夜漏刻。

置每日消息定衰,亦以差刻乘之,差度而一,所得以息减、消加其气初漏刻,得次日。〔其求距中度及昏明中星日出入,皆依阳城法求之。仍以差刻乘之,差度而一,为今有之数。〕若置其地春、秋定日中晷常数与阳城每日晷数,较其同者,因其日夜半漏亦为其地定春、秋分初日夜半漏。求余定气初日,亦以消息定数依分前、后加、减刻分,〔春分后以减,秋分后以加。〕满象积为刻。求次日,亦以消息定衰,依阳城术求之。〔此术究理,大体合通。然高山平川,视日不等。较其日晷,长短乃同。考其水漏,多少殊别。以兹参课,前术为审。〕

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